从蝴蝶定理到二次曲线系（2）

前文速递：从蝴蝶定理到二次曲线系（1）

在上一篇中，我们从蝴蝶定理一路推演，最终引出了「过四点的二次曲线系」的概念。为了更深入理解这种「曲线系」，我们先从更简单的直线系开始。

这一篇全是概念性的东西，熟悉的同学可以跳过。

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直线系

定义 Define

在平面上，如果我们有两条不同的直线 $l_1, l_2$ ，它们的方程分别是：

$$l_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ l_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$$

那么我们就可以定义一组新的直线：

$$L_{\lambda,\mu}: \lambda(a_1x+b_1y+c_1) + \mu(a_2x+b_2y+c_2) = 0$$

这就是 一组关于 $l_1$, $l_2$ 的直线系。

• 如果 $l_1$ 与 $l_2$ 相交于一点 $P$，那么直线系中的所有直线都经过这个点 $P$。我们称为 点束。
• 如果 $l_1 \parallel l_2$，那么直线系中的所有直线都平行。我们称为 平行线系。

例题 Example

Question:
已知直线 $l$ 经过两条直线 $l_1: x+2y=0$ 与 $l_2: 3x-4y-10=0$ 的交点，且与直线 $l_3: 5x-2y+3=0$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}{4}$，求直线 $l$ 的方程

Answer:
因为 $l$ 经过两条直线 $l_1: x+2y=0$ 与 $l_2: 3x-4y-10=0$ ，则可以设直线 $l$ 的方程为：

$$\lambda (x+2y) + \mu (3x-4y-10) = 0$$

整理可得：

$$(\lambda + 3\mu)x + (2\lambda - 4\mu)y - 10\mu = 0$$

又 $l$ 与 $l_3: 5x-2y+3=0$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}{4}$

有：

$$\tan \frac{\pi}{4} = \vert \frac{A_1B_2-A_2B_1}{A_1A_2+B_1B_2} \vert$$

所以：

$$1=| \frac{(\lambda + 3\mu)(-2)-(2\lambda - 4\mu)\times 5}{(\lambda + 3\mu) \times 5 + (-2)(2\lambda - 4\mu)} |$$

拆开化简可以得到：

$$\frac{\lambda}{\mu} = -\frac{9}{13} \quad \text{or} \quad \frac{\lambda}{\mu} = \frac{37}{11}$$

代入 $l$ 化简可得：

$$3x-7y-13=0 \quad \text{or} \quad 7x+3y-11=0$$

二次曲线

定义 Define

设 $F$ 为定点（焦点），$l$ 为定直线（准线），$e$ 为常数且 $e>0$（离心率），则满足以下条件的动点 $P$ 的轨迹称为圆锥曲线：

$$\frac{|PF|}{d(P, l)} = e$$

其中：

• $|PF|$ 表示点 $P$ 到焦点 $F$ 的距离，
• $d(P, l)$ 表示点 $P$ 到准线 $l$ 的距离，
• $e$ 称为离心率。

根据离心率 $e$ 的大小，圆锥曲线分为三类：

• 椭圆：$0 < e < 1$
• 抛物线：$e = 1$
• 双曲线：$e > 1$

极坐标方程

以焦点 $F$ 为极点，极轴沿准线方向建立极坐标系，则圆锥曲线的极坐标方程为：

$$r = \frac{p}{1 + e \cos \theta} \quad \text{或} \quad r = \frac{p}{1 + e \sin \theta}$$

其中：

• $r$ 为动点到焦点的距离，
• $\theta$ 为极角，
• $e$ 为离心率，
• $p$ 为极参数（半通径），与准线的位置有关。

直角坐标系下的方程

根据焦点-准线定义，可以得到二次曲线的标准方程：

• 椭圆（焦点在 $x$ 轴上，中心在原点）：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad b^2 = a^2 (1-e^2)$$

• 抛物线（顶点在原点，开口向 $x$ 轴正方向）：

$$y^2 = 2px$$

• 双曲线（中心在原点，焦点在 $x$ 轴上）：

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad b^2 = a^2 (e^2 - 1)$$

特点

1. 对称性：椭圆、抛物线、双曲线都有特定的对称轴。
2. 焦点与准线：二次曲线的几何性质可以通过焦点和准线描述。
3. 离心率：
   • (0 < e < 1)：椭圆，轨迹闭合
   • (e = 1)：抛物线，轨迹开口
   • (e > 1)：双曲线，轨迹两条分支

二次曲线系

类似于直线系，二次曲线也可以形成一个曲线系（或称“二次曲线簇”）。

定义 Define

设有两条平面二次曲线：

$$C_1: F_1(x,y) = 0, \quad C_2: F_2(x,y) = 0$$

其中 $F_1, F_2$ 是二次多项式：

$$F_i(x,y) = A_i x^2 + B_i xy + C_i y^2 + D_i x + E_i y + F_i, \quad i=1,2$$

那么我们可以定义一个二次曲线系：

$$C_{\lambda, \mu}: \lambda F_1(x,y) + \mu F_2(x,y) = 0, \quad (\lambda : \mu) \in \mathbb{P}^1$$

• 这里 $(\lambda:\mu)$ 是齐次参数，表示曲线系中的不同曲线。
• 当 $(\lambda:\mu) = (1:0)$ 时，得到 $C_1$；当 $(\lambda:\mu) = (0:1)$ 时，得到 $C_2$。
• 随着 $(\lambda:\mu)$ 的变化，曲线系中每个参数组合都对应一条新的二次曲线。

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性质

1. 公共点：

   • 所有 $C_{\lambda, \mu}$ 都通过 $C_1$ 与 $C_2$ 的交点。
   • 如果 $C_1$ 与 $C_2$ 有 $k$ 个不同交点，那么这些交点就是整个曲线系的公共点。

2. 自由度：

   • 二次曲线一般有 5 个自由点（即通过 5 个点可以唯一确定一条二次曲线）。
   • 二次曲线系用两个固定曲线加上参数 $(\lambda:\mu)$ 描述，整个曲线系是一族经过公共点的曲线。

3. 过四点的曲线系：

   • 若 $C_1$ 与 $C_2$ 有 4 个不同交点 $P_1, P_2, P_3, P_4$，那么整个二次曲线系都通过这四点。
   • 这在几何证明中非常有用，例如蝴蝶定理的解析证明里，就利用了“过四点的二次曲线系”来研究曲线的交点和共线关系。

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下一节将来切入蝴蝶定理 Plus 版

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2025.08.23 我开学了！！！！！！

Final completion time: August 21, 2025, 21:50