蝴蝶定理

什么是蝴蝶定理?

维基百科介绍： https://zh.wikipedia.org/wiki/蝴蝶定理
蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的几何图形象一只蝴蝶，便以此命名。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。

而现在，我们尝试用多种办法来证明它：

1.初等证明

此证明出自维基百科，但字母、图片发生变动，注意修改。

GeoGebra文件链接：蝴蝶定理-圆

如图：

在圆 $T$ 上有两点 $P$ , $Q$ , $PQ$ 中点为 $M$ . 过点 $M$ 分别做两条弦 $AD$ , $BC$ 交圆 $T$ 于 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 四点 . $AC$ , $BD$ 分别交直线 $PQ$ 于点 $E$ , $F$ . 求证： $EM = FM$

证明：

如图，过点 $E$ 分别做 $AD$ , $BC$ 的垂线交于点 $X_1$ , $X_2$ ; 过点 $F$ 分别做 $AD$ , $BC$ 的垂线交于点 $Y_1$ , $Y_2$ , 并如图所示标角。

不动脑子都可以知道： $\angle 1 = \angle 2$

所以： $\triangle X_1ME \sim \triangle Y_1MF$ , 故有：

\tag 1 \frac{ME}{MF} = \frac{EX_1}{FY_1}

同理就有： $\triangle X_2ME \sim \triangle Y_2MF$ , 故有：

\tag 2 \frac{ME}{MF} = \frac{EX_2}{FY_2}

然后动一点脑子可以知道：因为四边形 $ABCD$ 为圆 $T$ 内接四边形，所以 $\angle 3 = \angle 4$

所以： $\triangle X_2CE \sim \triangle Y_1DF$ , 故有：

\tag 3 \frac{EX_2}{FY_1} = \frac{CE}{DF}

同理就有： $\triangle X_1AE \sim \triangle Y_2BF$ , 故有：

\tag 4 \frac{EX_1}{FY_2} = \frac{AE}{BF}

由式 (1)、(2) 联立，并代入 (3)、(4)，我们得到：

\begin{aligned} (\frac{ME}{MF})^2 &= \frac{EX_1}{FY_1} . \frac{EX_2}{FY_2} \\ &= \frac{CE}{DF} . \frac{AE}{BF} \end{aligned}

由相交弦定理：

在点 $E$ ，有 $AE\cdot CE = PE\cdot QE$ ；

在点 $F$ ，有 $BF\cdot DF = PF\cdot QF$ 。
结合前式即可推出：

\begin{aligned} \frac{ME^2}{MF^2} &= \frac{CE}{DF} . \frac{AE}{BF} \\ &= \frac{PE . QE}{PF . QF} \\ &= \frac{(PM-ME) . (QM+ME)}{(PM+MF) . (QM-MF)} \\ &= \frac{(PM-ME) . (PM+ME)}{(PM+MF) . (PM-MF)} \\ &= \frac{PM^2 - ME^2}{PM^2 - MF^2} \\ \end{aligned}

故此时， $ME = MF$ ，证毕QED!

2.霍纳证法

GeoGebra文件链接：蝴蝶定理-圆-霍纳证法

如图，题意不再重复：

证明：

过点 $O$ 分别向 $AC$ , $BD$ 作垂线交于点 $S$ , $R$

欲证 $EM = FM$ , 即证 $\angle MEO = \angle MFO$

瞪眼发现： $\angle ESO = \angle EMO = 90 \degree$ ，所以 $EMOS$ 四点共圆，所以 $\angle MEO = \angle MSO$ 。

同理可得: $FMOR$ 四点共圆，所以 $\angle MFO = \angle MRO$ 。

即证： $\angle MSO = \angle MRO$

又 $ABCD$ 四点共圆，所以 $\triangle ACM \sim \triangle BDM$

由于 $OS\perp AC$ 且 $O$ 是圆心，根据垂径定理可知 $S$ 为 $AC$ 的中点。同理， $R$ 为 $BD$ 的中点。

所以在两个三角形中， $S$ 与 $R$ 分别对应。

所以： $\angle MSC = \angle MRD$

而又有 $\angle OSC = \angle ORD$ ，所以 $\angle MSC - \angle OSC = \angle MRD - \angle ORD$

所以： $\angle MSO = \angle MRO$

于是： $EM = FM$ ，证毕QED!

3.对称作法

GeoGebra文件链接：蝴蝶定理-圆-对称证法

如图，题意不再重复：

过点 $D$ 作 $PQ$ 的平行线，交圆 $T$ 于点 $G$ .

由对称性可知 $MG=MD$ ，所以有 $\angle EMG = \angle MGD = \angle MDG = \angle FMD$

而由四点共圆可知： $\angle ABG = \angle ADG = \angle EMG$

又 $\angle ABG + \angle ACG = 180 \degree$ , 所以： $\angle EMG + \angle ECG = 180 \degree$

所以 $ECGM$ 四点共圆，所以 $\angle EGM = \angle ECM = \angle ADB = \angle MDF$

因为：

\left\{ \begin{aligned} \angle EGM &=\angle FDM\\ \angle EMG &= \angle FMD \\ MG &= MD \end{aligned} \right.

所以 $\triangle EMG \cong \triangle FMD$

于是： $EM = FM$ ，证毕QED!

4.解析证明

这个证明来自中国科技大学的单墫教授，可以接着引出这个系列讲的主题：二次曲线系

GeoGebra文件链接

将 $P, Q, E, F, M$ 五点放在 $x$ 轴上，且 $M$ 为原点

设圆 $O$ 的方程为: $x^2+(y-a)^2 = r^2$

直线 $l_{AD}$ 的斜率为 $k_1$ ,直线 $l_{BC}$ 的斜率为 $k_2$

下面我们构造一个新的曲线：

\text{NEW}: \lambda [x^2+(y-a)^2-r^2] + \mu (y-k_1x)(y-k_2x) = 0

这个曲线是什么意思呢？

仔细观察发现：圆 $O$ 的方程为: $x^2+(y-a)^2 = r^2$ 经过 $ABCD$ 四点

而 $(y-k_1x)(y-k_2x)$ 表示 $l_{AD}$ 与 $l_{BC}$ 两条直线

于是曲线 $\text{NEW}$ 就表示过 $ABCD$ 四点的任意一条二次曲线（也即圆锥曲线），动起来会更加直观，可以在 GeoGebra文件链接中自己操作一下。

既然如此，那我们令 $y = 0$ ，就可以得到曲线 $\text{NEW}$ 与 $x$ 轴的交点。

令 $y = 0$ 可得：

(\lambda + \mu k_1k_2)x^2+\lambda(a^2-r^2)=0

看了一眼就可以发现：只要曲线 $\text{NEW}$ 与 $x$ 轴有交点，由韦达定理立即可以得到：

x_E + x_F = 0

也就是说，无论过 $ABCD$ 四点的任意一条二次曲线，只要曲线与 $x$ 轴有交点，那么交点一定关于 $M$ 对称。

那么原版蝴蝶定理就可以解决了。

证毕QED!

既然说的是 原版蝴蝶定理，那就有蝴蝶定理 Plus 版

这个坑位先放在这吧，后面哪天想起来了就过来给他填上。

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Final completion time: August 15, 2025, 15:40