用对角化法推导斐波那契数列通项公式

斐波那契数列定义如下：

F0=0,F1=1,Fn=Fn−1+Fn−2(n≥2)F_0 = 0,\quad F_1 = 1,\quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \quad (n \geq 2)

一、构造递推矩阵

将递推公式写为矩阵形式：

[FnFn−1]=[1110][Fn−1Fn−2]\begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_{n-1} \\ F_{n-2} \end{bmatrix}

设递推矩阵为：

A=[1110]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

则有：

[FnFn−1]=An−1[F1F0]=An−1[10]\begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix} = A^{n-1} \begin{bmatrix} F_1 \\ F_0 \end{bmatrix} = A^{n-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

二、对角化矩阵 ( A )

1. 求特征值

解特征方程：

det⁡(A−λI)=∣1−λ11−λ∣=(1−λ)(−λ)−1=λ2−λ−1=0\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(-\lambda) - 1 = \lambda^2 - \lambda - 1 = 0

求得：

λ1=ϕ=1+52,λ2=ϕˉ=1−52\lambda_1 = \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2},\quad \lambda_2 = \bar{\phi} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

2. 求特征向量

对于 λ1=ϕ\lambda_1 = \phi，解：

(A−ϕI)v⃗=0⇒v⃗1=[ϕ1](A - \phi I)\vec{v} = 0 \Rightarrow \vec{v}_1 = \begin{bmatrix} \phi \\ 1 \end{bmatrix}

对于 λ2=ϕˉ\lambda_2 = \bar{\phi}，解：

v⃗2=[ϕˉ1]\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} \bar{\phi} \\ 1 \end{bmatrix}

3. 构造对角化形式

定义：

P=[ϕϕˉ11],D=[ϕ00ϕˉ]P = \begin{bmatrix} \phi & \bar{\phi} \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\quad D = \begin{bmatrix} \phi & 0 \\ 0 & \bar{\phi} \end{bmatrix}

可得：

A=PDP−1⇒An−1=PDn−1P−1A = P D P^{-1} \quad \Rightarrow \quad A^{n-1} = P D^{n-1} P^{-1}

三、计算斐波那契通项

代入：

[FnFn−1]=An−1[10]=PDn−1P−1[10]\begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix} = A^{n-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = P D^{n-1} P^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

我们只关心第一项 FnF_n。

Step 1: 计算 P−1P^{-1}

因为：

ϕ−ϕˉ=5\phi - \bar{\phi} = \sqrt{5}

所以：

P−1=15[1−ϕˉ−1ϕ]P^{-1} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 1 & -\bar{\phi} \\ -1 & \phi \end{bmatrix}

Step 2: 计算乘积

依次计算：

P−1[10]=15[1−1]P^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

Dn−1⋅(15[1−1])=15[ϕn−1−ϕˉn−1]D^{n-1} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} \phi^{n-1} \\ -\bar{\phi}^{n-1} \end{bmatrix}

P⋅(15[ϕn−1−ϕˉn−1])=15(ϕ⋅ϕn−1−ϕˉ⋅ϕˉn−1)=15(ϕn−ϕˉn)P \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} \phi^{n-1} \\ -\bar{\phi}^{n-1} \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi \cdot \phi^{n-1} - \bar{\phi} \cdot \bar{\phi}^{n-1} \right) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^n - \bar{\phi}^n \right)

最终通项公式

Fn=15((1+52)n−(1−52)n)\boxed{ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right) }

这就是通过对角化方法推导出的斐波那契数列通项公式，也被称为 Binet 公式。