神奇的1/89

此时此刻的你可以掏出计算机算一下$\frac{1} {89}$的数值，你会得到它等于：

$$\frac{1} {89}=0.01123595505617977528089887640449……$$

如果你眼力够好的话，你会看到他的前几位是$1，1，2，3，5$，是斐波那契数列的前几项

为什么后面几位不是了呢？其实后面几位也是，看下面这张图片就明白了。

这其实是斐波那契数1位数位进位的问题，有没有更好一点的呢？

$$\frac {1}{9899}=0.0001010203050813213455…… \\ \frac {1}{998999}=0.000001001002003005008013021034055……\\ \frac {1}{99989999}=0.00000001000100020003000500080013002100340055……$$

这三个的斐波那契数数位分别为2位，3位，4位，这是为什

为什么会出现这么神奇的事情

我们从$\frac{1}{89}$开始分析一下，根据上面的结果我们可以知道本质上就是证明：

$$\frac{1}{89}=\sum ^{\infty}_{n=0}\frac{f_n}{10^{n+1}}$$

不妨令$x=\frac{1}{10}$，所以上述右式即可写为：

$$f(x)=\sum ^{\infty}_{n=1}\frac{f_n}{10^{n}} = 0x^1+1x^2+1x^3+2x^4+3x^5…… =\sum ^{\infty}_{n=1}f_nx^{n}$$

上网查了一下，这叫做形式幂级数。

[!note]

对于一般环 $R$ ，定义在 $R$ 上的多项式环（polynomial ring）$R[x]$。

每个元素 $f$ 称为 $R$ 上的多项式（polynomial），可表示为

$$f=〈f_0,f_1,f_2,···,f_n〉(f_0,f_1,f_2,···,f_n \in R)$$

换言之，我们将多项式直接定义为系数序列。也可以表示为

$$f(x)=f_0+f_1x+f_2x^2+···+f_nx^n$$

此处我们认为 $x$ 只是一个 形式符号，一个对系数位置的标识符。

如果我们还允许无穷项的存在，即

$$f(x)=f_0+f_1x+f_2x^2+···$$

则可得到 形式幂级数环（formal power series ring）$R[x]$，其中的每个元素称 $f$ 为 形式幂级数（formal power series)，简称幂级数。

我们要做的就是把换成另外的一种形式表达出来，最直接想到的应该是错位相减法。(下面这个式子我对不齐·-·)

$$f(x)=0x^1+1x^2+1x^3+2x^4+3x^5……(1)\\ xf(x)=0x^2+1x^3+1x^4+2x^5+3x^6……(2)\\ x^2f(x)=0x^3+1x^4+1x^5+2x^6+3x^7……(3)\\$$

斜着看可以看出，除了(1)中的$1x^2$,其他都有下图所示

所以我们可以得到：

$$f(x)=x^2+xf(x)+x^2f(x)$$

所以有：

$$f(x)=\frac{x^2}{1-x-x^2}$$

这样我们就把$f(x)$写成了一个简洁的式子，还记得吗？$x=\frac{1}{10}$

代入式子我们就可以得到：

$$f(\frac{1}{10})=\frac{1}{89}$$

$Amazing$，同理，我们带入$x=\frac{1}{100}$、$x=\frac{1}{1000}$，就可以得到：

$$f(\frac{1}{100})=\frac{1}{9899}\\ f(\frac{1}{1000})=\frac{1}{998999}$$

神奇的$\frac{1}{89}$​​的秘密

什么你觉得事情到这就结束了?怎么可能·-·

泰勒展开

$$\frac{1}{1-x-x^2}=g(x)=1x^0+1x^1+2x^2+3x^3+5x^4+……$$

看到这个优美的式子，你想到了什么？

没错，右边其实是$g(x)$在$[0,1)$​上的泰勒展开。

斐波那契数列与$\phi$的关系

$$g(x)=\frac{1}{1-x-x^2}$$

相信大家都知道：越往后，斐波那契数列的相邻两项的比值就越接近黄金分割比例$\phi$，即：

$$\lim_{n \to \infty}\frac{f_{n+1}}{f_n}=\phi =\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx 1.618$$

Proof:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n}\\ = \lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n}\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\phi^{n+1}-(-\phi)^{-n-1}}{\sqrt5}}{\frac{\phi^{n}-(-\phi)^{-n}}{\sqrt5}}\\ = \lim_{n\to\infty}\frac{\phi^{n+1}-(-\phi)^{-n-1}}{\phi^{n}-(-\phi)^{-n}}\\ = \phi$$

而仔细观察可以发现：$\frac{1}{\phi}$正是函数分母上的零点，即：

$$1-\frac{1}{\phi}-\frac{1}{\phi^2}=0$$

那么我们就可以进行因式分解，再进行裂项：

$$g(x) = \frac{1}{1-x-x^2} \\ = \frac{1}{(1-\phi x)(1+\frac{x}{\phi})}\\ = \frac{1}{\sqrt5}\frac{\phi(1+\frac{x}{\phi})+\frac{1}{\phi}(1-\phi x)}{(1-\phi x)(1+\frac{x}{\phi})}\\ = \frac{1}{\sqrt5}(\frac{\phi}{1-\phi x}+\frac{\frac{1}{\phi}}{1+\frac{x}{\phi}})$$

到了这里，其实我们还有一个公式可以使用：

$$\frac{1}{1-x}=\sum^{\infty}_{n=0}x^n$$

Proof:

$$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0}x^n=1+x+x^2+x^3+...$$

两边乘上$x$，可以得到：

$$xf(x)=x+x^2+x^3+x^4+...$$

所以有：

$$f(x)-xf(x)=1$$

即为：

$$f(x)=\frac{1}{1-x}$$

Q.E.D.

所以上述式子还可以进一步化简：

$$g(x) = \frac{1}{1-x-x^2} \\ = \frac{1}{(1-\phi x)(1+\frac{x}{\phi})}\\ = \frac{1}{\sqrt5}\frac{\phi(1+\frac{x}{\phi})+\frac{1}{\phi}(1-\phi x)}{(1-\phi x)(1+\frac{x}{\phi})}\\ = \frac{1}{\sqrt5}(\frac{\phi}{1-\phi x}+\frac{\frac{1}{\phi}}{1+\frac{x}{\phi}})\\ = \frac{\phi}{\sqrt5}\sum^{\infty}_{n=0}(\phi x)^n+\frac{1}{\sqrt5\phi}\sum^{\infty}_{n=0}(-\frac{x}{\phi})^n\\ = \frac{1}{\sqrt5}{[\sum^{\infty}_{n=0}(\phi^{n+1}x^n)+\sum^{\infty}_{n=0}((-\phi)^{-n-1}x^n)]}\\ = \frac{1}{\sqrt5}\sum^{\infty}_{n=0}(\phi^{n+1}-(-\phi)^{-n-1})x^n\\ = \sum^{\infty}_{n=0}\frac{\phi^{n+1}-(-\phi)^{-n-1}}{\sqrt5}x^n$$

这个形式怎么怎么熟悉呢？

$$g(x)=\sum^{\infty}_{n=0}{f_{n+1}x^n}=1x^0+1x^1+2x^2+3x^3+5x^4+……\\ f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\\$$

没想到啊，我们以一种惊奇的方式，又写出了斐波那契数列的通项公式：

$$f_n=\frac{\phi^{n}-(-\phi)^{-n}}{\sqrt5}$$

完结，撒花。