斐波那契数列的通项公式

Tip:

因为后文需要，本文中的斐波那契数列初始值定为：$f_0=0,f_1=1$

在前面我们已经知道：斐波那契数列用$\{f_n\}$表示，$\{f_n\}$的递推关系和初值条件为：

$$f_0=0,f_1=1\\f_n=f_{n−1}+f_{n−2}$$

所以斐波那契数列为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597、2584、···

下面我们就来推导一下斐波那契数列的通项公式

Tip:

若这一部分没有看懂，可看《高中数学方法原本第二卷》$P_{220}$ 结论$4.10$​

引理：二阶线性递推一般通项公式

为了得到更加一般性的结论，我们考虑下面的一个递推关系：

$$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}(n \in \Z)$$

我们可以通过构造使得左右两边结构相同，再利用等比数列的通项公式求解。

两边同时加上$\lambda a_{n+1}$:

$$a_{n+2}+\lambda a_{n+1}=(p+\lambda)(a_{n+1}+\frac{q}{p+\lambda}a_n)$$

要使得上式中左右两边结构相同，就需要$\frac{q}{p+\lambda}=\lambda$。

令$\frac{q}{p+\lambda}=\lambda$，就有：

$$\lambda^2+p\lambda-q=0$$

所以方程的解$\lambda_1、\lambda_2$，满足：

$$\begin{cases} \lambda_1+\lambda_2=-p\\ a_{n+2}+\lambda_1 a_{n+1}=(p+\lambda_1)(a_{n+1}+\lambda_1a_n)\\ a_{n+2}+\lambda_2 a_{n+1}=(p+\lambda_2)(a_{n+1}+\lambda_2a_n)\\ \end{cases}$$

这里我们要分类讨论$\lambda_1$和$\lambda_2$是否相等，我们就只讨论$\lambda_1\neq \lambda_2$时：

当$\lambda_1\neq \lambda_2$时，通过递推，我们就可以得到：

$$\begin{cases} a_{n+2}+\lambda_1 a_{n+1}=(a_2+\lambda_1 a_1)(p+\lambda_1)^{n}①\\ a_{n+2}+\lambda_2 a_{n+1}=(a_2+\lambda_2 a_1)(p+\lambda_2)^{n}②\\ \end{cases}$$

下面我们就要把$a_n$解出来：

①式$\times \lambda_2$，②式$\times \lambda_1$，可得：

$$\begin{cases} \lambda_2a_{n+2}+\lambda_1 \lambda_2 a_{n+1}= \lambda_2(a_2+\lambda_1 a_1)(p+\lambda_1)^{n}③\\ \lambda_1a_{n+2}+ \lambda_1\lambda_2 a_{n+1}= \lambda_1(a_2+\lambda_2 a_1)(p+\lambda_2)^{n}④\\ \end{cases}$$

所以$③-④$可得：

$$(\lambda_2-\lambda_1)a_{n+2}=\lambda_2(a_2+\lambda_1 a_1)(p+\lambda_1)^{n}-\lambda_1(a_2+\lambda_2 a_1)(p+\lambda_2)^{n}$$

所以：

$$a_{n+2}=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}(a_2+\lambda_1 a_1)(p+\lambda_1)^{n}-\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}(a_2+\lambda_2 a_1)(p+\lambda_2)^{n}$$

代入$\lambda_1+\lambda_2=-p$，递推一下就可以得到：

$$a_{n}=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}(a_2+\lambda_1 a_1)(-\lambda_2)^{n-2}-\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}(a_2+\lambda_2 a_1)(-\lambda_1)^{n-2}$$

所以：

$$a_n=A(-\lambda_1)^n+B(-\lambda_2)^n(n\in \Z)$$

这就是较一般化的通项公式，只要带入$a_n$​中任意两项把A,B解出即可求出通项公式。

Important:

对于形如下式的数列：

$$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$$

构造：

$$x^2-px-q=0$$

其中两根为$x_1,x_2$，则这个数列的通项公式为：

$$a_n=Ax_1^n+Bx_2^n(n\in \Z;\text{A,B由解方程确定})$$

这个公式我们后面称为二阶线性递推一般通项公式

那么求斐波那契数列的通项公式也就so easy

推导通项公式

目标：求斐波那契数列的通项公式

$$f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$$

所以：

$$p=1,q=1$$

构造方程：

$$x^2-x-1=0$$

解得两根为：

$$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

带入二阶线性递推一般通项公式：

$$f_n=A(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+B(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$$

由斐波那契数列知道：

$$f_0=0, f_1=1$$

带入：

$$0=A(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^0+B(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^0$$

$$1=A(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^1+B(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^1$$

所以：

$$\begin{cases} A=+\frac{1}{\sqrt{5}}\\ B=-\frac{1}{\sqrt{5}}\\ \end{cases}$$

所以斐波那契数列的通项公式为：

$$f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\text{ }(n\in \N)$$