1.问题引入

你是一个大怨种初中生，某天你醒了，发现你被人拐跑了！！！没错那个人就是我。现在你的面前有 $12$ 瓶药剂，其中有一瓶是毒药，其他为水。这些药剂无法从肉眼上看出差别，但是有四张试纸，如果有毒药滴入试纸便会变色。现在让你通过这四张试纸来判断出哪一瓶是毒药。

做为初中生的你一下就蒙住了······

2.尝试解决···

首先你最先想到了小学便教过的一个模型：假币模型。

陷入思考的你：

假设面前有 $12$ 个无法从肉眼上看出差别的硬币，其中有一个假币，如何用天平测出来呢？聪明的我一定会想到：把 $12$ 个硬币分为 $3$ 组：
$A$、 $1,2,3,4,5$
$B$、 $6,7,8,9,10$
$C$、 $11,12$
此时，我们把 $A$ 组药剂滴入试片 $Ⅰ$,

一、问题定义

01 背包问题是动态规划中的经典问题，它是为了解决以下问题：

在物品只能选或不选（0或1）的前提下，在容量有限的背包中，如何选择物品以获得最大总价值。

装杯式描述如下：

有 $n$ 件物品，每件物品有：

• 体积 $w_i$
• 价值 $v_i$

现在有一个容量为 $W$ 的背包。每种物品最多只能选一次，问在不超过容量 $W$ 的前提下，最多能选出多少价值的物品。

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二、状态转移原理与证明

状态转移原理

我们设状态转移数组 $f[i][j]$ 表示：前 $i$ 件物品中选择若干件放入容量为 $j$ 的背包时，所能获得的最大价值。

我们要从 $f[0][0]$ 状态出发，逐步扩展到 $f[n][W]$。

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，简称 CRT）是数论中一个重要的定理，常用于解决多模线性同余方程组。它不仅在数学理论上有深远意义，也在算法竞赛和工程实践中被广泛应用。

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1. 什么是中国剩余定理？

假设有一组互质的模数 $m_1, m_2, \ldots, m_k$ ，对应的余数为 $a_1, a_2, \ldots, a_k$ ，求解整数 $x$ 满足：

$$\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod{m_2} \\ \quad \vdots \\ x \equiv a_k \pmod{m_k} \end{cases}$$

中国剩余定理告诉我们，这个方程组存在唯一的解模 $M = m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_k$，即 $x$ 在模 $M$ 意义下唯一。

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2. 定理图解

https://www.geogebra.org/m/esztrerw

3. 证明

用对角化法推导斐波那契数列通项公式

斐波那契数列定义如下：

$$F_0 = 0,\quad F_1 = 1,\quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \quad (n \geq 2)$$

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一、构造递推矩阵

将递推公式写为矩阵形式：

$$\begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_{n-1} \\ F_{n-2} \end{bmatrix}$$

设递推矩阵为：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

则有：

不知不觉中，初二就这么过完了。

暑假将至，如何安排时间，就是个大问题。

每天预留 1h ~ 5h 发呆/补觉

别问我它为什么是第一个

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好像又失眠了。

距离我上一次失眠，已经过去了一个多月。这一个多月里，我一直努力的维持着早睡早起。直到今天，凌晨 2：30 左右睡着，早上 8：00 起床，顶着睡意写下来这篇文章。最近发生的事情太多了，我哭了一会。

作为一名预备初三学生的我想了许多。

因为特殊性，我成为了市重点乃是省重点的国家示范级高中里的一位初中生，加入了这个班。这是一个要专攻数学、物理的班。两年前，也就是2023年，我小学毕业来到了这里，成为该学校第一批，20个初中生之一。我还特别有幸加入了校团委学生会。

我以为这是一个良好的开始，为我的未来铺上了砖。可是······

整个初一年级及初二年级上学期，我的成绩一直很不理想，在倒数三名内徘徊。其中原因有很多，但是最主要的还是在我自身上：其实我并不对学习有多大感冒，相反，我当上了两年的“优秀班干部”（班长是这样）。所以我其实只是一名“工作积极分子”，我一直在为这个班付出了很多，包括和老师沟通，跑校团委、学生处，策划处理老师为我们报名的活动，写文章报告，做PPT。我就是这个班里工作最全能的（虽然是自我感觉，但我认为的确如此）。可是这样的付出对于我来说是前所未有的，这样的付出就导致了我失去了一些东西。整个七年级，我基本上在课上是睡觉的，作业也很少写，基本上都是抄班里其他同学的，所以我的成绩一直是班里倒数不及格。

到了初二，我才终于醒悟了一点，退了学生会的部门。上课开始听课，学习记笔记，老老实实写作业。可这样起点是不是太低了呢？其他人已经老老实实的学到了高中数学、高中物理，而我连解决一张简单的初中卷子都有些许困难。我一度焦虑、自卑，开始怀疑自己的选择：如果当初我不来这个班，会不会变得更好？和我毕业的同学们，老老实实学习初中知识，稳扎稳打，老师甚至说有几个同学有机会以计划生身份进入这所高中。想到这些，我心里老是很不安：如果高一的时候他们看到这样一个我，会说什么？

而我自卑的极点，在初二上学期的期中考试。我一直印象深刻：我考试的时候哭了。数学考试上，每道题我都不会写，焦头烂额也凑不出什么（数学怎么凑出来）。直到考试结束前10分钟，我跑去了厕所，哭了5分钟（我没告诉任何人，现在才决定说出来）。考试成绩一出来，23/150。

而刚刚好，又在那时（包括近些天），班里出现两三个人开始抵抗我的管理。包括值日、使用电脑、玩弄班级公共设施和财产。其中有个人每次都说：“你管得着吗？公共财产我为什么不能弄？再说了，这不是我的，那也不是你的。还有，就你成绩那么差，管得了我吗？”他说这句话，直接把我心态搞崩溃了。似乎我对这个班的付出，在他们看来一文不值甚至是画蛇添足，没有我他们照样很好，没什么区别。

宿舍熄灯后我又哭了半个小时。眼泪中夹杂着不安、恐惧、焦虑、失望······我努力真的有用吗？班级上的付出喂给了几个白眼狼，学习上付出又不见效果。我又沉默了半个小时（那天快23：30才睡觉）。

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家里，母亲平日里喜欢栽花，尤其是后花园的紫藤。母亲说紫藤开花了，我也满心欢喜。这给如白开水一般的生活荡起了一层涟漪。可是……

期中考试成绩已出。看着语文答卷上不堪入目的红叉，我仿佛坠入谷底之中。曾经的努力，在一瞬间如泡沫般破碎，化为灰烬。走在回家的路上，往日温柔的晚风消散，取而代之的是炽热的对流。乌云压得人心里透不过气，大树“唰唰”的声音、压抑的蝉鸣不断在耳边回响。不知为何，我的心里在这夏日之中泛起一丝悲凉。

回到家中，我把自己紧锁在房间里，无奈、痛苦、不甘都凝聚在了桌上一滴滴的泪水之中：为何我的生命里布满挫折？

过了许久，我的心情终于平静下来。看着窗外微弱淡雅的月光，我不由地加快了脚步……

花园中，月光突破重重的乌云，照在了大地上，是那样的轻柔，那样的平静。在朦胧月色之中，我看清了紫藤的模样：婆娑的姿态、屈曲盘旋的虬枝、数不清的紫藤花链条，组成的宗璞笔下的“紫藤萝瀑布”。

这时，我想起了宗璞的几句话：“花和人都会遇到各种各样的不幸，但是生命的长河是无止境的。”，“结，是解不完的；人生中的问题也是解不完的，不然，岂不太平淡无味了吗？”这两句话点醒的迷茫之中的我：遭遇挫折的时候，不能被其所打败，要保持坚定的信念。同时，挫折是人生命中的常态，给生活荡漾无数涟漪。在挫折之下，宗璞选择了“不由加快了脚步”，勇敢地度过他们，投身进入更加伟大、值得期待的世界。

这章分为三部分：

Part1：调和级数

Part2：阶乘

Part3：调和级数、阶乘与三角函数之间的联系

Part1

第一节：调和级数的引入

什么是调和级数呢？我们定义：调和级数$H(x)$满足：

$$H(x)=\sum^x_{k=1}\frac{1}{k}$$

这个散点函数的图像长什么样呢？

红线与蓝线在$x\in[0,+\infty)$上的交点是我们想象的散点，但是事实上，我们可以将$H(x)$扩充到实数。

$$H(x)=\sum^\infty_{k=1}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+x})$$

第二节：扩充调和级数

此时此刻的你可以掏出计算机算一下$\frac{1} {89}$的数值，你会得到它等于：

$$\frac{1} {89}=0.01123595505617977528089887640449……$$

如果你眼力够好的话，你会看到他的前几位是$1，1，2，3，5$，是斐波那契数列的前几项

为什么后面几位不是了呢？其实后面几位也是，看下面这张图片就明白了。

这其实是斐波那契数1位数位进位的问题，有没有更好一点的呢？

$$\frac {1}{9899}=0.0001010203050813213455…… \\ \frac {1}{998999}=0.000001001002003005008013021034055……\\ \frac {1}{99989999}=0.00000001000100020003000500080013002100340055……$$

这三个的斐波那契数数位分别为2位，3位，4位，这是为什

为什么会出现这么神奇的事情

我们从$\frac{1}{89}$开始分析一下，根据上面的结果我们可以知道本质上就是证明：

斐波那契数列的通项公式

Tip:

因为后文需要，本文中的斐波那契数列初始值定为：$f_0=0,f_1=1$

在前面我们已经知道：斐波那契数列用$\{f_n\}$表示，$\{f_n\}$的递推关系和初值条件为：

$$f_0=0,f_1=1\\f_n=f_{n−1}+f_{n−2}$$

所以斐波那契数列为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597、2584、···

下面我们就来推导一下斐波那契数列的通项公式

Tip:

若这一部分没有看懂，可看《高中数学方法原本第二卷》$P_{220}$ 结论$4.10$​

引理：二阶线性递推一般通项公式

为了得到更加一般性的结论，我们考虑下面的一个递推关系：

$$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}(n \in \Z)$$